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线性代数期末必考题二次型
阅读量:253 次
发布时间:2019-03-01

本文共 1932 字,大约阅读时间需要 6 分钟。

矩阵特征值分析与二次型对角化探索

2019年6月

分类:二次型对角化

特点:矩阵含零,特征根含重根

难度:偏易

限时:10min

根据题目条件,已知矩阵A满足以下性质:

  • 矩阵的迹tr(A) = 1
  • a=1
  • 行列式det(A) = -12 = 2×2×(-3)基于上述信息,猜测矩阵A的特征值为2、2、-3。为了验证这一猜测的合理性,需要进一步进行具体计算。

首先,矩阵A的迹等于其特征值之和。若特征值为2、2、-3,则特征值之和为2 + 2 + (-3) = 1,这与已知条件tr(A)=1一致,符合题意。

其次,矩阵A的行列式等于其特征值的乘积。根据猜测特征值2、2、-3,特征值乘积为2×2×(-3) = -12,这与已知条件det(A) = -12一致,进一步验证了猜测的正确性。

通过上述分析,可以确定矩阵A的特征值为2、2、-3。接下来需要进一步研究矩阵A的特征向量及其对角化问题。

2017年6月

分类:二次型对角化

特点:矩阵不含零,特征根含重根

难度:偏难

限时:10min

根据前期研究成果,已知矩阵B满足以下条件:

  • 矩阵B的迹tr(B) = 6
  • det(B) = 24
  • 矩阵B的特征值为4、4、2(已知特征值和特征向量)基于上述信息,进一步验证矩阵B的特征值是否正确。

首先,矩阵B的迹等于其特征值之和。若特征值为4、4、2,则特征值之和为4 + 4 + 2 = 10,这与已知条件tr(B)=6不符。因此,原猜测特征值为4、4、2存在错误。

其次,矩阵B的行列式等于其特征值的乘积。根据原猜测特征值4、4、2,特征值乘积为4×4×2 = 32,与已知条件det(B)=24不符,进一步验证了原猜测的错误性。

因此,需要重新确定矩阵B的特征值。设矩阵B的特征值为λ1、λ2、λ3,则有:λ1 + λ2 + λ3 = 6λ1×λ2×λ3 = 24

假设特征值中有两个相等的根,设为λ,则特征值为λ、λ、μ,其中:2λ + μ = 6λ²×μ = 24

通过解方程组,可以得到:由2λ + μ = 6,得μ = 6 - 2λ代入λ²×μ = 24,得到:λ²×(6 - 2λ) = 24展开:6λ² - 2λ³ = 24整理:2λ³ - 6λ² + 24 = 0简化:λ³ - 3λ² + 12 = 0

解上述三次方程,可发现λ = 2是重根:(λ - 2)²(λ + 3) = 0因此,特征值为2、2、-3,与已知条件完全一致。

2016年6月

分类:二次型对角化

特点:矩阵含零,特征值含重根

难度:偏难

限时:10min

根据题目已知条件,矩阵C满足以下特性:

  • 矩阵C含零元素
  • 矩阵C的特征值为3、3、2
  • 特征值和特征向量已知

基于上述信息,需要进一步研究矩阵C的对角化问题。

首先,矩阵C的迹等于其特征值之和:tr(C) = 3 + 3 + 2 = 8

其次,矩阵C的行列式等于其特征值的乘积:det(C) = 3×3×2 = 18

由于矩阵C含零元素,具体位置未知,需要通过对角化矩阵的性质进行分析。

由于矩阵C可以被对角化,说明存在可逆矩阵P,使得P⁻¹CP = D,其中D为对角矩阵,其对角元素为特征值3、3、2。

由于矩阵C含零元素,可能存在零在对角线上的某些位置,但根据特征值,矩阵D的对角线元素为3、3、2,因此矩阵C的对角线元素与D的对角线元素一致,分别为3、3、2。

进一步分析矩阵C的结构,考虑其秩和非零特征值的个数。由于特征值3、3、2均为非零,矩阵C的秩为3,且矩阵C为可对角化矩阵,因此其秩与非零特征值的个数一致。

2015年6月

分类:二次型对角化

特点:题目已经给出特征值和特征向量

难度:偏易

限时:10min

根据题目已知条件,矩阵D的特征值和特征向量已知:

  • 特征值:5、5、-2
  • 特征向量:已知

基于上述信息,需要完成矩阵D的对角化问题。

首先,矩阵D的迹等于其特征值之和:tr(D) = 5 + 5 + (-2) = 8

其次,矩阵D的行列式等于其特征值的乘积:det(D) = 5×5×(-2) = -50

由于矩阵D可以被对角化,说明存在可逆矩阵P,使得P⁻¹DP = D,其中D为对角矩阵,其对角元素为特征值5、5、-2。

根据特征向量的已知条件,矩阵P的列向量为对应的特征向量,分别对应特征值5、5、-2。由于特征值5为重根,对应的特征向量需要满足一定的正交条件或其他约束条件,以确保矩阵P的可逆性。

总结来说,矩阵D的对角化过程主要包括以下步骤:

  • 确定矩阵D的特征值
  • 寻找对应特征值的特征向量
  • 构造可逆矩阵P
  • 验证矩阵D = P⁻¹DP是否为对角矩阵
  • 通过上述步骤,可以完成矩阵D的对角化问题。

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